Das Sollten Sie wissen. Tipps und Trick zum störungsfreien Betrieb eines digitalen Audiostudios.
Teil 2

Über Samplingfrequenz und Wortbreite und ihre Wirkung
auf die Audioqualität

Die Wahl der Samplefrequenz

Die Samplingfrequenz, Abtastfrequenz oder Samplingrate ist die erste wichtige Kenngröße für die Qualität des AD/DA gewandelten Signals. Sie drückt aus, wie viele Messwerte (Samples) pro Zeiteinheit (Sekunde) ermittelt werden. Dieser Wert ist mitbestimmend für das Aussehen der bei der Wandlung entstehenden "Treppenstufen" und bestimmt die Breite einer solchen Stufe.
Warum ist an dieser Wert so wichtig ? An einem einfachen Beispiel lässt sich dies zeigen. Dazu sehen wir uns eine Grafik an, die den Verlauf der Kursentwicklung einer Aktie darstellt. Die waagerechte gestrichelte Linie stellt die untere Grenze dar, ab der wir beim Fallen des Aktienwertes unsere Anteile wieder abstoßen wollen. Wie wir sehen, ist der Wert der Aktie kurz unter diese "Schmerzgrenze" gefallen, danach wieder gestiegen und dann (nachdem wir verkauft hatten) stark gefallen. Wie der spätere Kursverlauf nach dem kurzen Einbruch zwischen t4 und t5 zeigt, war die Entscheidung zum frühzeitigen Verkaufen also richtig. So konnten wir das Geld früher wieder für andere, gewinnbringende Investitionen einsetzen.

Kursentwicklung mit Abfragezeitpunkten

In der zweiten Grafik sehen wir die Kurve, die sich ergibt, wenn ihr Verlauf aus den in Abbildung 1 eingezeichneten Werten der Abfragezeitpunkte t1 bis t7 wieder rekonstruiert wird. Das Ergebnis sieht dem Original nur noch entfernt ähnlich, wichtige Einzelheiten wie z.B. die Senke zwischen t4 und t5 fehlen. Nach dieser Kurve beurteilt hätten wir unsere Aktien erst nach dem Zeitpunkt t6 abgestoßen, weil die Kurve erst hier unter unsere "Verlust-Schmerzgrenze" sinkt.

Aus den Abfragewerten rekonstruierte Kurve

Um mehr Details der Originalkurve zu erfassen wieder herstellen zu können, gibt es nur einen Weg: Wir müssen mehr Werte erhalten, also das Original öfter abfragen.
Auf die digitale Audiotechnik übertragen heißt dies, wir müssen die Samplefrequenz erhöhen.
Wie oft ein Ereignis abgefragt werden muss, um eine befriedigende Rekonstruktion zu ermöglichen, hängt vom Anwendungsfall ab.
Genügt es zum Beispiel beim Film oder Fernsehen, d. h. optischen Eindrücken, 24 beziehungsweise 25 Bilder pro Sekunde darzustellen (24/25 Hz), um unserem Auge eine gleichmäßige und damit analoge Bewegung vorzugaukeln, verhält sich unser Ohr wesentlich weniger träge und ist damit deutlich anspruchsvoller.
Um eine natürliche Reproduktion von Schallereignissen zu erreichen, benötigen wir einen Frequenzbereich, der mindestens von 20 Hz bis 20 kHz reicht.

Das Abtasttheorem nach Shannon

Ein physikalischer Zusammenhang, das nach seinem Entdecker benannte Abtasttheorem nach Shannon, spielt bei der Wahl der Abtastfrequenz eine wichtige Rolle. Shannon fand heraus, dass die Abtastfrequenz mindestens doppelt so hoch sein muss, wie die höchste gewünschte zu digitalisierende Tonfrequenz. Nur dann kann das Original wieder vollständig hergestellt werden.

Hier ein kurzes Beispiel, um das Abtasttheorem nach Shannon zu erläutern:

Betrachten wir einen Film, in dem eine sich regelmäßig 12x pro Sekunde von Schwarz nach Weiß ändernde Farbfläche aufgenommen werden soll. Wie viele Bilder muss man aufzeichnen, um diese Änderung zu dokumentieren?
Wenn die Bildwiederholfrequenz 12 Hz beträgt, also 12 Bilder pro Sekunde aufgenommen werden, wird die Fläche immer schwarz oder immer weiß dargestellt werden, je nachdem, bei welcher Farbe das erste Bild aufgezeichnet wurde. Alle höheren Bildwiederholfrequenzen werden sowohl schwarze als auch weiße Flächen zeigen, die Farbänderungen finden jedoch nicht regelmäßig statt. Erst wenn die Anzahl der aufgenommenen Bilder mindestens doppelt so hoch ist wie die Frequenz des Farbwechsels, in unserem Beispiel also 24Hz beträgt, werden alle Schwarz/Weiß-Zyklen richtig dargestellt. Man benötigt also pro analogem Zyklus immer mindesten zwei Abtastungen (Samples), um den Vorgang eindeutig richtig zu erfassen.

Bei gegebener Abtastfrequenz könnte man umgekehrt auch sagen: Alle Frequenzen, die größer als die halbe Abtastfrequenz sind, müssen vom Wandler ferngehalten werden, weil sie nicht richtig gewandelt werden könnten.
Sie würden bei der Wandlung Störfrequenzen erzeugen. Man erhielte als Darstellung solcher Frequenzen ein Spiegelbild dieses Signals unterhalb der halben Abtastrate, die so genannten Alias-Störungen. In der Praxis werden solche zu hohen Frequenzen deshalb vor der Wandlung durch steilflankige Filter entfernt. Weil diese Filter Alias- Störungen verhindern, werden sie auch Anti-Aliasing-Filter genannt.
Ohne sie würde zum Beispiel ein 35 kHz-Ton, der mit 48 kHz abgetastet wird, einen 13 kHz-Ton (48 kHz -35 kHz = 13kHz) als "Spiegelbild" oder Alias-Ton erzeugen und damit im Hörbereich eine unschöne Störung verursachen.

Die Wortbreite und ihre Auswirkungen 

Nachdem das analoge Signal nun mit einer genügend hohen Samplefrequenz abgetastet wurde, bleibt die Frage, wie groß die Wortbreite des entstehenden Binärwortes werden soll.
Wie Sie sicher wissen, versteht man unter Wortbreite oder auch Wortlänge die Anzahl der Bits, aus denen ein digitales Datenwort besteht. Die zur Verfügung stehende Wortlänge gibt uns Auskunft darüber, wie genau ein ermittelter Messwert (ein Sample) als Digitalzahl ausgedrückt werden kann. In der unten dargestellten Grafik kann man leicht sehen, dass die Wortbreite ein Maß für die Höhe der bei der Wandlung entstehenden „Treppenstufen“ ist.
Grundsätzlich sind die gezeigten Stufen nicht vermeidbar, sie stellen sozusagen einen Teil der „Wesens“ der digitalen Audiotechnik dar. Die Höhe einer solchen Stufe ist also von der Wortbreite abhängig. Sie stellt die kleinste „Schrittweite“ dar, die sich ausdrücken lässt und wird auch als Quantisierungsintervall bezeichnet.

Der tatsächliche analoge Wert kann nie 100%ig richtig dargestellt werden, er liegt irgendwo innerhalb des Quantisierungsintervalls. Bei der Rückwandlung (der D/A-Wandlung) wird ein Wert genau in der Mitte des Quantisierungsintervalls als richtig angenommen, der durch die Quantisierung zwangsläufig entstehende Fehler wird dadurch halbiert. Dieser immer entstehende Fehler wird Wandlungsfehler oder Quantisierungsfehler genannt. Er wird natürlich kleiner, je geringer die Höhe Treppenstufen ist, also je größer die Wortbreite der Digitalwortes ist, in das ein analoger Wert umgewandelt wird. 

Quantisierungsfehler äußern sich nach dem Rückwandeln in analoge Signale unter anderem in Rauschen, sodass die Wortbreite also den bestenfalls möglichen Fremdspannungsabstand bestimmt. Wenn man andere Störquellen außer Acht lässt und voraussetzt, dass die zu wandelnde Kurvenform den höchsten noch möglichen Pegel aufweiset, kann man sagen, dass je Bit Wortbreite 6,02dB+1,76dB Fremdspannungsabstand erreicht werden können, dies ergibt bei 16 Bit einen bestenfalls erreichbaren Wert von (16x6,02)+ 1,76 dB = 98,1 dB. Dieser theoretische Wert wird in der Praxis allerdings nie erreicht, warum dies so ist, wird in einer späteren Folge dieser Serie noch erläutert.
 

Einfluss von Wortbreite und Samplefrequenz

Der hier veröffentliche Artikel ist ein Auszug aus dem Buch "Das digitale Tonstudio" von Peter Bremm, dem Inhaber dieser Seite und "Kopf" von AudioConsultant.

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